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虚数有什么用

发(fa)布(bu)时间(jian): 2018-12-10
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众所周(zhou)知,虚数自身的平方是负数,它在现(xian)实(shi)中并(bing)不存(cun)在。虚构一个现(xian)实(shi)中不存(cun)在的概念,有(you)什么用呢?

在(zai)初中学到(dao)“平(ping)方(fang)根(gen)”这(zhei)个(ge)概念时(shi)(shi),我(wo)(wo)们说只有(you)正(zheng)(zheng)数(shu)(shu)和零才有(you)平(ping)方(fang)根(gen)——没有(you)哪个(ge)数(shu)(shu)字自己(ji)乘以自己(ji)会等于(yu)(yu)负(fu)(fu)(fu)(fu)数(shu)(shu)。在(zai)解二次方(fang)程(cheng)(cheng)时(shi)(shi),我(wo)(wo)们可能会遇到(dao)根(gen)号(hao)里面有(you)一(yi)个(ge)负(fu)(fu)(fu)(fu)数(shu)(shu)的(de)(de)情(qing)况,此时(shi)(shi)认定它无实(shi)(shi)数(shu)(shu)解即可,所以并不需要(yao)对负(fu)(fu)(fu)(fu)数(shu)(shu)开平(ping)方(fang)。但是(shi)当(dang)学到(dao)三(san)次方(fang)程(cheng)(cheng)时(shi)(shi),这(zhei)个(ge)问题就(jiu)(jiu)回避不了(le)了(le),因(yin)为根(gen)据(ju)三(san)次方(fang)程(cheng)(cheng)的(de)(de)求(qiu)(qiu)根(gen)公式,即使一(yi)个(ge)有(you)实(shi)(shi)数(shu)(shu)解的(de)(de)三(san)次方(fang)程(cheng)(cheng),在(zai)求(qiu)(qiu)解的(de)(de)过程(cheng)(cheng)中,也会遇到(dao)要(yao)对负(fu)(fu)(fu)(fu)数(shu)(shu)开根(gen)号(hao)的(de)(de)情(qing)况。于(yu)(yu)是(shi)给负(fu)(fu)(fu)(fu)数(shu)(shu)开根(gen)号(hao)就(jiu)(jiu)绕不过去(qu)了(le)。数(shu)(shu)学家们只好(hao)虚构出一(yi)个(ge)数(shu)(shu),让它的(de)(de)平(ping)方(fang)等于(yu)(yu)-1,这(zhei)个(ge)数(shu)(shu)写成字母(mu)(mu)i,是(shi)拉丁语中imagini“影(ying)像”一(yi)词的(de)(de)首字母(mu)(mu),它代表非真(zhen)实(shi)(shi)、幻(huan)影(ying)的(de)(de)意思。这(zhei)就(jiu)(jiu)是(shi)虚数(shu)(shu)。有(you)了(le)虚数(shu)(shu),三(san)次方(fang)程(cheng)(cheng)就(jiu)(jiu)能顺利求(qiu)(qiu)解了(le)。如果三(san)次方(fang)程(cheng)(cheng)有(you)实(shi)(shi)根(gen),那么(me)算出的(de)(de)就(jiu)(jiu)是(shi)实(shi)(shi)数(shu)(shu)——虚数(shu)(shu)去(qu)哪了(le),它们正(zheng)(zheng)负(fu)(fu)(fu)(fu)抵消了(le)。

这(zhei)件事细想是(shi)(shi)(shi)(shi)很有(you)意思的(de)。现(xian)实(shi)世(shi)界(jie)里给一(yi)些限制条件后计(ji)算一(yi)个(ge)长方体(ti)的(de)体(ti)积,就是(shi)(shi)(shi)(shi)一(yi)个(ge)一(yi)元三次(ci)方程(cheng),这(zhei)就是(shi)(shi)(shi)(shi)解三次(ci)方程(cheng)的(de)问题,用卡尔达诺(nuo)公式,可以计(ji)算出(chu)问题的(de)答案。但是(shi)(shi)(shi)(shi)算到一(yi)半(ban)遇到一(yi)堵墙越不(bu)(bu)过(guo)去了(le),于(yu)是(shi)(shi)(shi)(shi)引入一(yi)个(ge)不(bu)(bu)存在的(de)工(gong)具,用一(yi)下就翻过(guo)墙了(le)。明明是(shi)(shi)(shi)(shi)现(xian)实(shi)世(shi)界(jie)的(de)问题,而且在现(xian)实(shi)世(shi)界(jie)里也有(you)答案,但是(shi)(shi)(shi)(shi)却无(wu)法直接得到,非(fei)要发明一(yi)个(ge)不(bu)(bu)存在的(de)东西(xi)作为桥梁(liang)。

怎么(me)理解虚(xu)数(shu)(shu)(shu)的(de)上述(shu)作用(yong)呢?虚(xu)数(shu)(shu)(shu)就像(xiang)化(hua)学(xue)(xue)中的(de)催化(hua)剂。催化(hua)剂在(zai)化(hua)学(xue)(xue)反应(ying)完(wan)成前后是不改变的(de),它只是起到(dao)一个(ge)(ge)媒介的(de)作用(yong),但(dan)是没有(you)它,化(hua)学(xue)(xue)反应(ying)要(yao)么(me)特别慢,要(yao)么(me)干脆进(jin)行不下(xia)去。虚(xu)数(shu)(shu)(shu)更像(xiang)是传话(hua)筒,当两个(ge)(ge)人距离很(hen)远时,它可(ke)以快速(su)传话(hua),使得(de)交流能(neng)够继续。从(cong)更广义的(de)角度讲,很(hen)多(duo)数(shu)(shu)(shu)学(xue)(xue)工具都是如此,它们并非我们这个(ge)(ge)世(shi)界存在(zai)的(de)东西,而是完(wan)全(quan)由(you)逻辑虚(xu)构出来(lai)的(de),但(dan)是,用(yong)这些虚(xu)构的(de)工具却能(neng)解决现实世(shi)界的(de)事情。多(duo)神奇(qi)!

那(nei)么(me)虚数除了解三(san)次方程(cheng)还有什么(me)用(yong)?它(ta)的(de)用(yong)途(tu)可以归结为(wei)三(san)个层(ceng)面。

第一(yi)是对于数(shu)学(xue)本身的(de)影响(xiang)。引入虚数(shu)的(de)概(gai)念(nian)(nian)后(hou),数(shu)学(xue)的(de)一(yi)些逻辑上可(ke)能的(de)漏(lou)洞就被补(bu)上了。比如说,在实数(shu)的(de)范围(wei)内,有(you)的(de)多项(xiang)式方程(cheng)(cheng)有(you)解,有(you)的(de)无解,数(shu)学(xue)就不完美了。引入一(yi)个(ge)虚拟的(de)概(gai)念(nian)(nian)——虚数(shu)i,就让所有(you)的(de)方程(cheng)(cheng)都变得有(you)解了。更漂亮(liang)的(de)是,引入虚数(shu)的(de)概(gai)念(nian)(nian)后(hou),所有(you)的(de)一(yi)元N次方程(cheng)(cheng)都会有(you)N个(ge)解,没有(you)例外(wai)。

第(di)二(er)是作(zuo)为(wei)工具的作(zuo)用(yong)(yong)。有了(le)虚数(shu)(shu)(shu)之后,很(hen)多(duo)复杂的数(shu)(shu)(shu)学(xue)问(wen)(wen)题可以用(yong)(yong)简单(dan)的方法解(jie)决,这(zhei)就如同前面介(jie)绍的三次方程的解(jie)法问(wen)(wen)题。虚数(shu)(shu)(shu)作(zuo)为(wei)数(shu)(shu)(shu)学(xue)工具最大的用(yong)(yong)途,是便于将(jiang)直(zhi)角坐标(biao)(biao)变成极坐标(biao)(biao)。在飞(fei)行(xing)、航海等场景(jing)里,极坐标(biao)(biao)更(geng)方便使用(yong)(yong)。在极坐标(biao)(biao)的计算中,如果只用(yong)(yong)实数(shu)(shu)(shu)非常(chang)复杂,如果引入虚数(shu)(shu)(shu)就极为(wei)简单(dan)。

第三是(shi)应用层面。量子(zi)力(li)学(xue)、相对(dui)论(lun)、信号(hao)处理、流体力(li)学(xue)和控制(zhi)系统的发展都离不开虚数。

通过虚(xu)数这(zhei)个(ge)例子,我们(men)(men)可以看(kan)到(dao),人(ren)(ren)类(lei)可能是唯一(yi)一(yi)个(ge)能够构(gou)想(xiang)出不(bu)存(cun)在的(de)(de)事物(wu)的(de)(de)物(wu)种(zhong),这(zhei)个(ge)能力(li)非常重(zhong)要(yao)。在我们(men)(men)生活(huo)的(de)(de)世界里(li),存(cun)在着(zhe)(zhe)大量构(gou)想(xiang)出来(lai)的(de)(de)东(dong)西。比如(ru)组织(zhi)、有限公司(si)、法人(ren)(ren)团体(ti)等概念(nian),它们(men)(men)在自然界中并不(bu)存(cun)在,只是人(ren)(ren)们(men)(men)脑子里(li)构(gou)建出的(de)(de)概念(nian),但是如(ru)果(guo)没有它们(men)(men),这(zhei)个(ge)社(she)会就运(yun)行不(bu)下去(qu)。今天,衡量一(yi)个(ge)人(ren)(ren)认(ren)知水(shui)平(ping)的(de)(de)一(yi)个(ge)标准,就是看(kan)他(ta)接受(shou)虚(xu)拟概念(nian)的(de)(de)能力(li)有多强(qiang),如(ru)果(guo)他(ta)只停留在看(kan)得(de)见摸得(de)着(zhe)(zhe)的(de)(de)东(dong)西,这(zhei)个(ge)人(ren)(ren)的(de)(de)水(shui)平(ping)就不(bu)是很(hen)高。


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